De rubriek 'Stand van zaken' biedt regelmatig inzichten in methoden die worden toegepast bij het opzetten van wetenschappelijk onderzoek. De artikelen in deze serie belichten op een begrijpelijke manier de essentie van een bepaalde methode, zonder dat diepgaande methodologische kennis vereist is.
Bayesiaanse Kansrekening: Eenvoudig en Intuïtief
Bayesiaanse kansrekening is verrassend eenvoudig en wordt voortdurend toegepast door kleuters. Vanuit dit perspectief schreef Eric-Jan Wagenmakers, hoogleraar psychologische methodenleer aan de Universiteit van Amsterdam, een kinderboek over de statistische benadering die vaak als complex wordt ervaren: de Bayesiaanse statistiek.
Hoeveel hoorns heeft een Triceratops op zijn hoofd? Hoeveel stekels heeft een Stegosaurus op zijn staart? Hoe goed hebben Kate en Miruna het juiste antwoord voorspeld? Het basisprincipe van Bayesiaanse kansrekening is leren van ervaring. Hypothesen die de data goed voorspellen, krijgen een boost in waarschijnlijkheid, terwijl hypothesen die de data slecht voorspellen, achteruitgaan.
Een voorbeeld: hypothese A stelt dat om 6 uur 's ochtends de ouders over het algemeen slapen, en hypothese B stelt dat ze wakker zijn. Wanneer een kleuter om 6 uur wakker wordt en merkt dat beide ouders nog slapen, verhoogt deze observatie de plausibiliteit van hypothese A en verlaagt die van hypothese B.
Lezers die bekend zijn met methodologie, zullen in de verhalen over dinosaurussen ook Ockham's scheermes en Phil Dawid's prequentiële principe herkennen. Het kinderboek Bayesian Thinking for Toddlers, oorspronkelijk geschreven door Eric-Jan Wagenmakers, is inmiddels in diverse talen vertaald, waaronder een Nederlandse versie getiteld "Bayesiaans Denken voor Peuters".
Update Je Overtuigingen: Leren van Nieuwe Informatie
We hebben allemaal overtuigingen. Idealiter passen we deze aan wanneer er nieuwe, relevante informatie beschikbaar komt. Zoals de econoom John Maynard Keynes ooit zei: "Wanneer de feiten veranderen, verander ik van mening. Wat doet u, meneer?" Dit principe, bekend als belief updating, is de kern van Bayesiaans denken.
De wiskundige basis hiervoor ligt in het Bayes’ theorem, een formule die beschrijft hoe kansen veranderen wanneer er nieuwe informatie beschikbaar komt. In het dagelijks leven uit zich dit in het aanpassen van je mening wanneer de feiten veranderen.
De Stelling van Bayes: Een Wiskundige Benadering
Thomas Bayes, een Engelse predikant en wiskundige, legde de basis voor dit principe. Na zijn overlijden publiceerde Richard Price zijn aantekeningen, waaronder de beroemde stelling van Bayes. De formule luidt:
P(H|E) = [P(E|H) * P(H)] / P(E)
Hierin staat:
- H voor de hypothese.
- E voor de evidence (het nieuwe bewijs).
- P(H) de prior probability: de kans op de hypothese vóórdat er nieuw bewijs beschikbaar is.
- P(E|H) de kans op het bewijs, gegeven dat de hypothese waar is.
- P(E) de kans op het bewijs, ongeacht de hypothese.
- P(H|E) de posterior probability: de kans op de hypothese nádat het nieuwe bewijs is overwogen.
Stel, de initiële kans dat Sinterklaas bestaat (P(H)) is 0,9 (90 procent). Wanneer je vervolgens tekeningen ziet die je voor Sinterklaas hebt gemaakt in de werkkamer van je vader, is dit nieuw bewijs. De kans om die tekeningen daar te zien hangen (P(E)) kan dan berekend worden door verschillende scenario's mee te wegen, zoals Sinterklaas die de tekeningen verliest (P(E|H)) of de tekeningen die sowieso op de muur belanden als Sinterklaas niet bestaat (P(E|¬H)). Door deze kansen te combineren, kan de aangepaste kans (posterior) berekend worden.
Stelling van Bayes - Het eenvoudigste geval
Toepassingen van Bayesiaans Denken
Bayesiaans denken is niet beperkt tot kinderboeken of statistische analyses. Het is een fundamentele manier van denken bij onzekerheid die in diverse domeinen nuttig is:
- Wetenschappelijk onderzoek: Hypothesen worden continu bijgesteld op basis van nieuwe data.
- Rechtszaken: Het beoordelen van bewijsmateriaal en de waarschijnlijkheid van scenario's.
- Spamfilters: Het classificeren van e-mails op basis van patronen en de waarschijnlijkheid van spam.
- Gezondheid: Het aanpassen van diagnoses en behandelplannen op basis van nieuwe symptomen of testresultaten, zoals tijdens de coronapandemie.
- Financiën: Investeringsbeslissingen worden genomen door voortdurend nieuwe marktinformatie te evalueren.
- Loterijen: Hoewel de kans om te winnen klein is, kan Bayesiaans denken helpen bij het begrijpen van winkansen, vooral bij krasloten waarbij prijzen al gevallen kunnen zijn.
De geschiedenis van Joan Ginther, die tussen 1993 en 2010 vier keer een grote prijs in de Texas Lottery won, wordt vaak aangehaald als een voorbeeld van iemand die mogelijk Bayesiaans dacht, mede door haar doctoraat in statistiek.
De Kracht van Twijfel en Nederigheid
Een belangrijk aspect van Bayesiaans denken is het erkennen van onzekerheid en het vermijden van dogmatisme. Statisticus David Spiegelhalter adviseert de Wet van Cromwell: geef nooit 100 procent of 0 procent kans aan een hypothese. Er moet altijd ruimte zijn voor twijfel en aanpassing.
Dit principe van 'nederigheid modelleren' houdt in dat je een kleine kans reserveert voor het feit dat je ongelijk kunt hebben. Dit maakt het mogelijk om sneller te reageren op nieuw bewijs dat je eerdere overtuigingen tegenspreekt.
Bayesian thinking is geen trucje, maar een manier om flexibel en adaptief om te gaan met onzekerheid. Het stelt ons in staat om te leren van ervaring, ons beeld van de werkelijkheid systematisch aan te passen en zo betere beslissingen te nemen.
tags: #bayesiaans #denken #voor #peuters